Fișă de lucru: Geometrie în Spațiu
Enunț: Se dă o piramidă triunghiulară regulată $VABC$ cu baza triunghi echilateral $ABC$.
Date cunoscute:
- Latura bazei ($l$) = $5 \text{ cm}$
- Înălțimea piramidei ($h$) = $10 \text{ cm}$
Cerință: Să se afle lungimea muchiei laterale ($m$) a piramidei.
Demonstrație și Calcul:
1. Raza cercului circumscris bazei ($R$) se află la intersecția înălțimii cu planul bazei. Formula pentru triunghi echilateral: $$ R = \frac{l\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ cm} $$
2. Muchia laterală ($m$), înălțimea ($h$) și raza ($R$) formează un triunghi dreptunghic (unde $m$ este ipotenuza). Aplicăm Teorema lui Pitagora: $$ m^2 = h^2 + R^2 $$
3. Înlocuim cu valorile numerice: $$ m = \sqrt{10^2 + \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2} $$ $$ m = \sqrt{100 + \frac{25 \cdot 3}{9}} = \sqrt{100 + \frac{25}{3}} $$ $$ m = \sqrt{\frac{300 + 25}{3}} = \sqrt{\frac{325}{3}} \approx 10.40 \text{ cm} $$
